VECTORES

Ejercicios propuestos. Curso de Física COU. A. Peña, F. Garzo

Ejercicio propuesto 3, p24.

Calcula las componentes de un vector v que tiene de módulo 8, está contenido en el plano YZ y forma un ángulo de 30º con el eje OZ.

Clear["Global`*"]

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/vector1.jpg"]

Las componente x del vector es 0, por estar situado en el plano YZ:

x = 0

Las componentes del vector en los ejes Y y Z son:

y = | v | sen 30º = 8 sen 30º = 4
z = | v | cos 30º = 8 cos 30º = 8  x (((Sqrt[3])  )/2) = 4 (Sqrt[3])

Por tanto las componentes del vector v:

v = (0, 4,  4 (Sqrt[3]))

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Ejercicio propuesto 5, p24.

Halla las componentes de un vector unitario que tengan la misma dirección y sentido que la resta de los vectores:  a = 4 i  - 3 j  + 5 k  y  b = i  - 9 j  + 7 k.

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={4,-3,5};
b= {1,-9,7};

La resta a - b será el vector:

r=a-b

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/vector2.jpg"]

Como lo que se quiere es calcular el vector unitario en la dirección y sentido del vector resta. Es decir  r = | r | u. Tendremos que dividir el vector por su módulo: u = (r/(|r|))

u=(r/(Norm[r]))

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Ejercicio propuesto 8, p24.

Dados los vectores  a = 2 i  +  j  +  3 k  y  b = - i  + 3 j  -  k, calcula:
a) El ángulo que forman.
b) El módulo del vector suma.
c) Un vector unitario en la misma dirección de a.

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={2,1,3};
b= {-1,3,-1};

Podemos calcular el ángulo que forman los vectores directamente, utilizando la función:

θ=VectorAngle[a,b]

En grados:

ArcCos[-(Sqrt[(2/77)])]*(180/π)//N

También podemos hacerlo a partir de la definición del producto escalar de dos vectores:

a · b = |a| |b| cos α ,  despejando  cos α = ((a . b)/(|a| |b|))

El coseno del ángulo formado:

ArcCos[((Dot[a,b])/(Norm[a] Norm[b]))]

En grados:

ArcCos[-(Sqrt[(2/77)])]*(180/π)//N

En el caso b) nos piden calcular el vector suma:

s=a + b

El módulo del vector suma es:

Norm[s]

En el caso c) nos piden que calculemos un vector unitario en la misma dirección de a. Para ello tendremos que dividir el vector a por su módulo: u = (a/(|a|))

u=(a/(Norm[a]))

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Ejercicio propuesto 14, p25.

Dados los vectores coplanarios a = 3 i  -  4 j  y  b = i  + 2 j, calcula:
a) Su producto vectorial.
b) Comprueba, por medio del producto escalar, que el vector antes calculado es perpendicular al vector a y al vector b.
c) ¿Dónde estará situado el vector suma de a y b?

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={3,-4,0};
b= {1,2, 0};

Su producto vectorial:

c=Cross[a,b]

Nos da el vector c = (0 i, 0 j, 10k)

Si representamos gráficamente el vector producto vectorial c, veremos que es perpendicular al plano formado por los vectores a y b:

Graphics3D[{Black,Arrow[Tube[{{0,0,0},a}]],Arrow[Tube[{{0,0,0},b}]],Red,Arrow[{{0,0,0},c}],White,InfinitePlane[{0,0,0},{a,b}]},Axes->True,PlotRangePadding->2]

Podemos verificar que el resultado es perpendicular a ambos vectores, aplicando la condición de perpendicularidad. El producto escalar de los vectores es igual a cero.

{c.a,c.b}

En el caso c) el vector suma a + b:

s= a + b

Si añadimos la representación del vector suma:

Graphics3D[{Black,Arrow[Tube[{{0,0,0},a}]],Arrow[Tube[{{0,0,0},b}]],Red,Arrow[{{0,0,0},c}],Blue,Arrow[{{0,0,0},s}],White,InfinitePlane[{0,0,0},{a,b}]},Axes->True,PlotRangePadding->2]

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Ejercicio propuesto 15, p25.

Dados los vectores  a = (1/7)(2 i  + 3 j  + 6 k) ,  b = (1/7)(3 i  - 6 j  + 2 k),  c = (1/7)( 6 i  + 2 j  -  3 k), demostrar que:
a)  Son vectores unitarios.
b)  Son perpendiculares entre si.
c)  c es el producto vectorial de  a y b?

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={2,3,6};
b={3,-6,2};
c={6,2,-3};

Para demostrar el primer caso, necesitamos los módulos de los vectores:

Norm[a]

Norm[b]

Norm[c]

Un vector unitario es el resultado de dividir el vector a por su módulo, u = (a/(|a|)).  Luego vemos que se cumple la condición.

Para demostrar el segundo caso, necesitamos calcular que el producto escalar entre ellos es igual a cero:

{a.b,a.c,b.c}

Para demostrar el tercer caso, necesitamos calcular que el producto vectorial entre a y b:

Cross[a,b]/7

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Ejercicio propuesto 16, p25.

Dados los vectores  a = 2 i  - 3  j  +  k ,   b =  i  + 2 j  -  k   y   c = - i  -  j  +  k   calcula:
a)   (a + b) - c
b)   (a - b)  x  c
c)    El ángulo formado por a y (b + c).
d)    (a - b) · 3 c

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={2,-3,1};
b={1,2,-1};
c={-1,-1,1};

En el caso a):

(a+b)-c

En el caso b):

Cross[a-b,c]

Para el caso c) nos piden el ángulo formado por a y (b + c):

θ=VectorAngle[a,b+c]

ArcCos[-(3/(Sqrt[14]))]*(180/π)//N

Para el caso d) nos piden el producto escalar:  (a - b) · 3 c

Dot[a-b,3c]

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Ejercicio propuesto 17, p25.

Dados los vectores libres  a = 2 i  -   j  +  k ,   b =  3 i  + 3 j  - 0 k,  calcula:
a)   El ángulo que forman.
b)   El momento resultante respecto al punto (3, 5, 2).

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores en formato Mathematica:

a={2,-1,1};
b={3,3,0};

El ángulo en radianes:

θ=VectorAngle[a,b]

El ángulo en grados:

ArcCos[(1/(2 (Sqrt[3])))]*(180/π)//N

s = a+b

Su representación gráfica:

Graphics3D[{Black,Arrow[Tube[{{0,0,0},a}]],Arrow[Tube[{{0,0,0},b}]],Blue,Arrow[{{0,0,0},s}],White,InfinitePlane[{0,0,0},{a,b}]},Axes->True,PlotRangePadding->2]

El momento del vector resultante respecto al punto P (3, 5, 2)

El momento del vector a con respecto a P, PO viene dado:

PO = (0 - 3, 0 - 5, 0 - 2) = (- 3, - 5, - 2)

Ma = PO x a =  (- 3, -5, - 2)) x (2, -1, 1)  = (({{i, j, k}, {-3, -5, -2}, {2, -1, 1}}))

PO={-3,-5,-2 };

Ma=Cross[PO,a]

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Ejercicio propuesto 18, p25.

Dado el vector a  = [2 (t^2), t , ((( t + 1))^2)] , halla su derivada y el módulo de a para t = 2.

Clear["Global`*"]

Escribimos el vector a en formato Mathematica:

a={2 (t^2),t,((( t + 1))^2)};

Su derivada:

derivada=D[a,t]

Particularizada para t = 2:

derivadat=derivada/.t->2

El módulo:

Norm[derivadat]

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Ejercicio propuesto 19, p25.

Halla la velocidad lineal de un punto P del sólido rígido, cuya velocidad angular viene dada por ω = i - 2k y cuyo vector  de posición respecto de un punto del eje fijo alrededor del cual gira es  r  =  i + 2 j + 3 k.

Clear["Global`*"]

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/sólido rígido.png"]

Como el punto P describe una circunferencia de radio r sen θ, el módulo de la velocidad lineal v es:

| v | =   ω  (r sen θ)  = | ω  x  r |

Por tanto el vector v es perpendicular a los vectores ω y r de tal forma que los tres componen un triedro a derechas. Luego v tiene el mismo módulo, dirección y sentido que ω x r.

v =  ω x r   = (({{i, j, k}, {1, 0, -2}, {1, 2, 3}}))

Definimos los vectores en formato Mathematica:

ω={1,0,-2};
r={1,2,3};

v=Cross[ω,r]

Nos da una velocidad lineal v = (4 i,  - 5 j,  2k)

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Ejercicio propuesto 21, p25.

Halla la expresión analítica del vector velocidad y del vector aceleración. Calcula los módulos de ambos vectores, cuando una partícula se mueve a lo largo de la curva C de ecuaciones:  x  = 3 cos 2t,  y = 3 sen 2t,  z = 5 t.

Clear["Global`*"]

En primer lugar definimos el vector r, posición de la partícula de forma genérica:

r  = ( x i + y j + z k)

Su construcción será a partir de:

u={i,j,k};

c={3Cos[2t], 3Sin[2t],5t};

El producto escalar del vector C por u, me da el vector de posición r:

r=c.u

La velocidad de la partícula vendrá dada por v = dr/dt:

v=D[r,t]

La aceleración vendrá dada por a = dv/dt:

a=D[v,t]

La velocidad y la aceleración en el instante t = 0:

v0=v/.t->0

a0=a/.t->0

Escribiendo la velocidad y aceleración para t = 0 en formato de vector:

v0={0,6,5};

a0={-12,0,0};

Los módulos de la velocidad y la aceleración en el instante t = 0:

Norm[v0]

Norm[a0]

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Ejercicio propuesto 22, p25.

Dada la función escalar de posición F (x, y, z) = 2 x (y^2) -  3 y (z^2), halla su gradiente en el punto (2, 1, - 1).

Clear["Global`*"]

Calculamos el gradiente a la superficie 2 x (y^2) -  3 y (z^2) en el punto P (2, 1, - 1).
Es decir:  
grad F  =  ∇ F  =  ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/((∂_z))))k)  F (x, y, z)  =  (((∂F)/(∂_x))i + ((∂F)/(∂_y))j + ((∂F)/(∂_z))k)

Definimos el escalar F:

F[x,y,z]=2 x (y^2) -  3 y (z^2);

El gradiente en tres dimensiones en coordenadas cartesianas:

gradF=(Subscript[∇, {x,y,z}])F[x,y,z]

Particularizando para las coordenadas del punto:

gradF /.{x->2,y->1,z->-1}

Resulta el vector:

∇F = (2 i,   5 j,  6k)

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Ejercicio propuesto 23, p25.

Halla el vector divergencia de la función vectorial de posición dada por v (x, y, z) = 2 x y z i  -  (x^2)(z^2) j  +  2 (y^3)z k en el punto (2, -2, 1)

Clear["Global`*"]

Se define la divergencia del vector v al escalar que resulta del producto escalar de nabla por el vector: 
div v = ∇ . v  = ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/(∂_z))k) .  ((Subscript[v, x]) i+ (Subscript[v, y]) j  + (Subscript[v, z]) k ) =  (((∂(Subscript[v, x]))/(∂_x)) + ((∂(Subscript[v, y]))/(∂_y))+ ((∂(Subscript[v, z]))/(∂_z)))

Definimos la función vectorial v:

v={2 x y z ,- (x^2)(z^2),2 (y^3)z};

Calculamos la divergencia de v:

divv=Div[v,{x,y,z}]

Particularizando para el punto P (2, -2, 1):

divv /.{x->2,y->-2,z->1}

El resultado es:

div v = ∇ . v  = -20

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Ejercicio propuesto 24, p25.

Halla el rotacional del vector v = 2x (z^3) i -  x (y^2) z j  + 2 (y^2) (z^2) k  en el punto P (2, - 1,  3).

Clear["Global`*"]

Se define el rotacional del vector v al vector que resulta del producto vectorial de nabla por el vector: 
rot v = ∇ x v  = ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/(∂_z))k) x  ((Subscript[v, x]) i+ (Subscript[v, y]) j  + (Subscript[v, z]) k ) =   (({{i, j, k}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])}}))

Definimos el vector v:

v={2x (z^3), x (y^2)z,2 (y^2) (z^2)};

Calculamos el rotacional de v:

rot=Curl[v,{x,y,z}]

Particularizando para el punto P (2, -1,  3):

(Subscript[rot, P])=rot/.{x->2,y->-1,z->3}

El resultado es:

Rot v = ∇ x  v  = - 38 i + 108 j + 3 k

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Ejercicio propuesto 25, p25.

Una partícula se mueve con una aceleración dada por a = 3 sen 2t i  -  5 cos 2t j  + 4t k, siendo t el tiempo. Se consideran nulos el desplazamiento inicial y la velocidad inicial. Calcula la velocidad y el espacio recorrido en función del tiempo.

Clear["Global`*"]

Teniendo en cuenta:  a = (dv/dt),   dv  = a dt ,   v = ∫adt

Definimos el vector aceleración:

a = {3Sin[2t],5Cos[2t],4t};

Calculamos el vector velocidad:

v=∫a\[DifferentialD]t

El vector velocidad es:

v = -(3/2) Cos[2 t] i  +  (5/2) Sen[2 t] j  + 2 (t^2) k

Para el cálculo del espacio recorrido:  v = (dr/dt),   dr  = v dt ,   r = ∫vdt

Definimos el vector velocidad:

v= {-(3/2)Cos[2t],(5/2)Sin[2t],2(t^2)};

Calculamos el vector espacio recorrido:

r=∫v\[DifferentialD]t

r  = -(3/4) Sin[2 t] i  -  (5/2) ((Cos[t])^2) j  + (( 2)/3) ((t )^3) k

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Ejercicio propuesto 26, p25.

Halla la integral curvilínea del vector  v = 2 x (y^2)z  i  -  (x + 2 y - z)  j  + 5 (x^2) z k , entre los puntos (Subscript[P, 1]) (0, 0,  0) y
 (Subscript[P, 2]) (1, 1,  1) a lo largo de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:  x =  2 t,  y = (t^2) + 1,  z = (t^3).

Clear["Global`*"]

En primer lugar definimos el vector r, posición de la partícula en la curva C:

r  = (x i + y j + x k) = [ 2 t  i  + (((t )^2) + 1  )  j + ((t )^3)  k]

La definición para cálculo es:

r= {2t, (t^2)+1, (t^3)};

La diferencial de r:

dr=D[r,t]

Definimos el vector v:

v={2x (y^2)z ,(x+2y-z),5(x^2)z};

Particularizamos  el vector v con las coordenadas de C:

vt=v/.{x->2t,y->(t^2)+1,z->(t^3)}

El producto  v  dr es vt  dr:

integrando=Dot[vt,dr]

La integral resultante:

(∫_0^1)integrando\[DifferentialD]t

(10211/630)//N