VECTORES

Ejercicios de aplicación. Curso de Física COU. A. Peña, F. Garzo

Ejercicio de aplicación 3, p6.

Dados los vectores:  u1 = 2i - j + k,  u2 = i + 3j - 2k,  u3 = - 2i + j - 3k,  u4 = 3i + 2j + 5k. Halla 
los valores de los escalares a, b , c de forma que  u4  = a u1 + b u2 + c u3.

Clear["Global`*"]

Hay que expresar el vector u4 en función de los tres vectores restantes:

3 i + 2 j + 5 k = a (2 i - j + k) + b (i + 3 j - 2 k) + c (-2 i + j - 3 k)

Agrupar por componentes:

3 i + 2 j + 5 k = (2 a + b - 2 c) i + (-a + 3 b + c) j + (a - 2 b - 3 c) k

Identificando componentes resulta el sistema de ecuaciones:

2 a + b - 2 c =3
- a + 3b + c = 2
a - 2b -3c = 5

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Solve[{2a+b-2c==3, -a+3b+c==2, a-2b-3c==5}]

Es decir que u4 expresado como combinación lineal de los vectores u1, u2, u3, queda:

u4 = -2 u1 + u2 - 3 u3

Los vectores u1, u2, u3 no son coplanarios ni paralelos y, por tanto son linealmente independientes y constituyen una base del espacio vectorial. Los valores hallados (- 2, 1, - 3) son las coordenadas del vector u4 
en esa base.

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Ejercicio de aplicación 4, p8.

Dados los vectores:  u = 2i  + 2j  - k,  v = 6i - 3j + 2k, calcula:
a) El ángulo que forman.
b) La proyección de u sobre la dirección de v.

Clear["Global`*"]

Para calcular el ángulo que forman los vectores, hay que partir de la definición del producto escalar de dos vectores:

u · v = |u| |v| cos α ,  despejando  cos α = ((u ·v)/(|u| |v|))

Definimos los vectores:

u = {2,2,-1};

v = {6,-3,2};

Hacemos los cálculos:

Norm[u]

Norm[v]

Dot[u,v]

El ángulo será:

ArcCos[((Dot[u,v])/(Norm[u]Norm[v]))]

En grados:

ArcCos[(4/21)]*(180/π)//N

La proyección ortogonal de u sobre la dirección de v:

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/u sobre v.png"]

uv=((Dot[u,v])/(Norm[v]))//N

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Ejercicio de aplicación 5, p11.

Dados los vectores:  a = 2i  - 3j + k,  b = - i + 2j - 5k, calcula:
a) El momento del vector a aplicado en O (0, 0, 0), respecto del punto P ( - 2, 1, 0).
b) El momento del vector b, aplicado en A ( -1, 2, 3), respecto del eje e definido por la ecuación:

((x-1)/2) = ((y + 2)/3) = (z/(- 1))

Clear["Global`*"]

Definimos los vectores:

a={2,-3,1};
b={-1,2,-5};

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/momento vector_01.png"]

El momento del vector a aplicado en O con respecto al punto P, Ma viene dado:

PO = (0 - (-2), 0 - 1, 0 - 0) = (2, -1, 0)

Ma = PO x a = (0 - (-2), 0 - 1, 0 - 0) x (2, -3, 1) = (2, -1, 0) x (2, -3, 1) = (({{i, j, k}, {2, -1, 0}, {2, -3, 1}}))

PO={2,-1,0};

Ma=Cross[PO,a]

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/momento vector_02.png"]

Para el caso b), como tenemos la ecuación contínua de la recta del eje: ((x-1)/2) = ((y + 2)/3) = (z/(- 1))

Deducimos un punto del eje Q (1, -2, 0). Entonces el momento del vector b (-1, 2, -5) respecto del eje e, es igual al momento de b aplicado en A (-1, 2, 3) respecto de Q (1, -2, 0) y proyectado sobre el eje e.

QA  = (-1 - 1, 2 - (-2), 3 - 0) = (-2, 4, 3)

Mb = QA x b = (-2, 4, 3) x (- 1, 2, - 5) = (({{i, j, k}, {-2, 4, 3}, {-1, 2, -5}}))

QA={-2,4,3};

Mb=Cross[QA,b]

Y ahora calculamos la proyección de ese vector sobre el eje. Un vector paralelo al eje se deduce de su ecuación: (2, 3, - 1) y un vector unitario con esa dirección será:  u = (v/(|v|))

v={2,3,-1};

ue=(v/(Norm[v]))

Por tanto, el momento del vector sobre el eje e, Me es el escalar que representa la proyección del vector momento Mb sobre el eje y mide el momento del vector b aplicado en A respecto de e.

Me=Dot[Mb,ue]

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Ejercicio de aplicación 6, p13.

Una partícula se mueve a lo largo de la curva S, cuyas ecuaciones paramétricas son:
       x = 2 (t^2)
y = (t^2)- 4 t
 z = 3 t - 5
Siendo t el tiempo. Calcula las componentes de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 1 y en la dirección del vector w = i - 3 j + 2 k

Clear["Global`*"]

Escribimos el vector dado w y la curva S en forma vectorial:

w={1,-3,2};

s={2 (t^2),(t^2)- 4 t,3 t - 5};

Calculemos la velocidad v como la derivada del vector de posición S respecto al tiempo:

v = (dS/dt) = (d/t)(2 (t^2) i + ((t^2)- 4 ) j + (3 t - 5)k)

v=D[s,t]

Particularizando la velocidad para t = 1:

(Subscript[v, t])=v/.t->1

Necesitamos calcular el vector unitario en la dirección del vector i - 3 j + 2 k. Para ello tenemos que saber que el vector unitario es:  u = (w/(|w|))

(Subscript[u, w])=(w/(Norm[w]))

La componente de la velocidad en la dirección del vector w será el producto escalar del vector velocidad v por el vector unitario (Subscript[u, w]):

Dot[(Subscript[v, t]), (Subscript[u, w])]

El vector aceleración:

a = (((d^2)S)/(dt^2)) = (d/dt)((dS/dt))=(d/dt)(4t i + (2t- 4 ) j + 3k)

a=D[v,t]

La aceleración en la dirección del vector w, es el producto escalar de la aceleración por el vector unitario (Subscript[u, w]):

Dot[a, (Subscript[u, w])]

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Ejercicio de aplicación A-1, p15.

Siendo v una función vectorial de dos variables escalares dadas por:  
v (x, y) = (2 (x^2)y - (x^4)) i  +  ((e^(x y)) -  y sen x) j  +  ((x^2) cos y) k ,  calcula: 
a) ((∂ v)/(∂x))  ;    b) ((∂ v)/(∂y))  ;    c) (((∂^2)v)/(∂(x^2)))  ;   d)  (((∂^2)v)/(∂x ∂y)) ;   e)  (((∂^2)v)/(∂y ∂x))

Clear["Global`*"]

Escribimos la función vectorial:

v = {2(x^2)y-(x^4),E^(x y)-y Sin[x],(x^2)Cos[y]};

El primer apartado ((∂ v)/(∂x)):

D[v,x]

El apartado b) calculamos ((∂ v)/(∂y)):

D[v,y]

El apartado c) calculamos (((∂^2)v)/(∂(x^2))):

D[v,{x,2}]

El apartado d) calculamos (((∂^2)v)/(∂x ∂y)):

D[v,x,y]

El apartado e) calculamos (((∂^2)v)/(∂y ∂x))

D[v,y,x]

Siempre que la función v tenga derivadas parciales de primer y segundo orden contínuas, ocurrirá que:
(((∂^2)v)/(∂x ∂y))  = (((∂^2)v)/(∂y ∂x))

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Ejercicio de aplicación A-2, p16.

Halla un vector unitario que sea normal a la superficie equiescalar: (x^2) y + 2 x z = 4 en el punto P (2, -2, 3).

Clear["Global`*"]

Import["/Users/miguelseguramatarredona/Documents/Ciencia/Mathematica/Imágenes/vector gradiente.png"]

Calculamos el gradiente a la superficie (x^2) y + 2 x z = 4 en el punto P (2, - 2, 3).
Es decir:  grad F = ∇ F = ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/(∂_z))k) F = (((∂F)/(∂_x))i + ((∂F)/(∂_y))j + ((∂F)/(∂_z))k)

Definimos la superficie:

f[x_,y_,z_]=(x^2)y+2x z;

Calculamos el gradiente:

grad=Grad[f[x,y,z],{x,y,z}]

Particularizamos el gradiente para el punto P (2, - 2, 3):

(Subscript[grad, P])= grad/.{x->2,y->-2,z->3}

Luego el vector gradiente queda como -2i + 4j + 4k. Un  vector unitario normal a la superficie sera:
∇ F = |∇ F| . u , luego el vector unitario es: u = ((∇ F)/(|∇ F|))

u=((Subscript[grad, P])/(Norm[(Subscript[grad, P])]))//N

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Ejercicio de aplicación A-3, p17.

Dado el vector v = (x^2) z i - 2 (y^(3 ))(z^2)j  + x (y^(2 ))z k ,  halla su divergencia en el punto P (1, -1, 1).

Clear["Global`*"]

Se define la divergencia del vector v al escalar que resulta del producto escalar de nabla por el vector: 
div v = ∇ . v  = ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/(∂_z))k) .  ((Subscript[v, x]) i+ (Subscript[v, y]) j  + (Subscript[v, z]) k ) =  (((∂(Subscript[v, x]))/(∂_x)) + ((∂(Subscript[v, y]))/(∂_y))+ ((∂(Subscript[v, z]))/(∂_z)))

Definimos el vector v:

v={(x^2)z, - 2 (y^(3 ))(z^2),x (y^(2 ))z};

Calculamos la divergencia de v:

div=Div[v,{x,y,z}]

Particularizando para el punto P(1, -1, 1):

(Subscript[div, P]) =div /.{x->1,y->-1,z->1}

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Ejercicio de aplicación A-4, p18.

Halla el rotacional del vector v = x (z^3) i - 2 (x^2)y z j  + 2 y (z^4) k  en el punto P (1, - 1, 1).

Clear["Global`*"]

Se define el rotacional del vector v al vector que resulta del producto vectorial de nabla por el vector: 
rot v = ∇ x v  = ((∂/(∂_x))i + (∂/(∂_y))j + (∂/(∂_z))k) x  ((Subscript[v, x]) i+ (Subscript[v, y]) j  + (Subscript[v, z]) k ) =   (({{i, j, k}, {(∂/(∂x)), (∂/(∂y)), (∂/(∂z))}, {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])}}))

Definimos el vector v:

v={x (z^3), - 2 (x^2)y z,2 y (z^4)};

Calculamos el rotacional de v:

rot=Curl[v,{x,y,z}]

Particularizando para el punto P(1, -1, 1):

(Subscript[rot, P])=rot/.{x->1,y->-1,z->1}

Resulta el vector (0 i, 3 j, 4 k)